二重积分
一些性质
连续必可积
$d\sigma=dxdy$
$\iint$ 支持线性运算
保号性
绝对值不等式 $|\iint\limits_{\sigma}f(x,y)d\sigma|\le\iint\limits_{\sigma}|f(x,y)|d\sigma$
二重积分中值定理
$$
\exist P(x^*,y^*)\in \sigma\\ s.t. \iint\limits_{\sigma}f(x,y)d\sigma=f(x^*,y^*)\sigma
$$
计算
多重化累次
先画积分区域，然后根据区域图确定适合的积分方式 （ $x$ 型区域 或 $y$ 型区域）
累次化多重化累次
当累次积分的某个积分无法变成初等函数，先还原成多重积分再回到累次积分
$$
\begin{aligned}
\int_0^1x^2dx\int_x^1e^{-y^2}dy&=
\iint\limits_{0\le x\le 1\atop x\le y \le 1}x^2e^{-y^2}dxdy \\
&=\iint\limits_{0\le y\le 1\atop 0\le x \le y}x^2e^{-y^2}dxdy \\
&=\int_0^1e^{-y^2}dy\int_0^yx^2dx \\
&=\frac{1}{3}\int_0^1e^{-y^2}y^3dy
=\frac{1}{6}\int_0^1e^{-y^2}y^2dy^2 \\
&\xlongequal{t=x^2}\frac{1}{6}\int_0^1e^{-t}tdt \\
&=-\frac{1}{6}\int_0^1tde^{-t} \\
&=-\frac{1}{6}(\left.te^{-t}\right|_0^1-\int_0^1e^{-t}dt)
=-\frac{1}{6}(\left.te^{-t}\right|_0^1+\left.e^{-t}\right|_0^1) \\
&=\frac{1}{6}-\frac{1}{3e}
\end{aligned}
$$
复习：Wallis公式
$$
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}cos^nxdx=
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2},\quad & \text{n 为正偶数}\\
&\frac{(n-1)!!}{n!!},\quad & \text{n 为正奇数}
\end{aligned}
\right.
$$
坐标变换
极坐标变换
$$
\iint\limits_{\sigma}f(x,y)d\sigma=\iint\limits_{\sigma}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta
$$
注意多出来的$r$
出现 $e^{-x^2}$ 这种形式的，考虑将原式平方，再用极坐标变换
$$
\text{令} I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx > 0\\
\begin{aligned}
I^2&=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\cdot \int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy\\
&=\iint\limits_{\sigma}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
&=\iint\limits_{\sigma}e^{-r^2}rdrd\theta\\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}rdr\\
&=\frac{\pi}{4}\int_0^{+\infty}e^{-r^2}dr^2\\
&=-\frac{\pi}{4}\left.e^{-r^2}\right|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
\Rightarrow I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$
一般坐标变换
设有坐标变换函数组
$$
\left\{
\begin{aligned}
x=x(u,v)\\
y=y(u,v)
\end{aligned}
\right.
$$
则有
$$
\iint\limits_\sigma f(x,y)d\sigma=\iint\limits_\sigma f(x(u,v),y(u,v))
\left|
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
\right|
dudv\\
\left|
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
\right|
=\left|\begin{aligned}
\frac{\partial x}{\partial u}\quad &\frac{\partial x}{\partial v}\\\\
\frac{\partial y}{\partial u}\quad &\frac{\partial y}{\partial v}
\end{aligned}\right|\neq 0
$$
第一类曲线积分
设有曲线 $\Gamma$
$$\left\{
\begin{aligned}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
z=z(t)
\end{aligned}
\right.\\
\alpha \le t \le \beta
$$
则
$$\int\limits_\Gamma f(x,y,z) ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)} dt
$$
特别的，对于极坐标变换 $x=r \cos \theta,y=r\sin \theta$,有
$$\int\limits_\Gamma f(x,y) ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(r \cos \theta,r\sin \theta) \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta
$$
第一类曲面积分
设有曲面 $S$
$$F(x,y,z)=0 $$
则
$$\begin{aligned}
&\iint\limits_S f(x,y,z) dS\\
=&\iint\limits_{\sigma_{yz}} f(x(y,z),y,z) \sqrt{1+\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)^2}\quad dydz\\
=&\iint\limits_{\sigma_{xz}} f(x,y(x,z),z) \sqrt{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2+1+\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2}\quad dxdz\\
=&\iint\limits_{\sigma_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}\quad dxdy
\end{aligned}$$
偏导也可以使用隐函数的形式
第二类曲线积分
$$\begin{aligned}
\int\limits_{\Gamma}\bold{A}\cdot\bold{T}^0 ds &= \int\limits_{\Gamma}(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)ds \\
&= \int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz
\end{aligned}
$$
若曲线光滑，$P,Q,R$ 在 $\Gamma$ 上连续，曲线可以表示为参数方程
$$\begin{cases}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
z=z(t)
\end{cases}$$
时
$$
\begin{aligned}
\text{原式} =&\quad \int_{t_A}^{t_B}P(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt\\
&+ \int_{t_A}^{t_B}Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt\\
&+ \int_{t_A}^{t_B}R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dt
\end{aligned}
$$
曲线的正向
当人沿边界行走时，区域 $D$ 始终在他的左边。
在区域外边界时，逆时针
区域内边界时，顺时针
格林公式
若函数 $P,Q$ 在有界闭区域 $D\subset \R^2$ 上连续且具有一阶连续偏导数，$\Gamma$ 为区域 $D$ 的边界曲线，并取正向，则
$$\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy$$
$$\iint\limits_S |\nabla \times \bold{A}| dS = \oint\limits_\Gamma \bold{A} \cdot d\bold{s}\quad (\text{格林公式的旋度形式})$$
$$\iint\limits_S \nabla \cdot \bold{A} dS = \oint\limits_\Gamma \bold{A} \cdot \bold{n} ds\quad (\text{格林公式的散度形式})$$
Tips:
- 对于由多条曲线围成的区域，需要对每条曲线都做曲线积分
- 对于中间带"洞"的区域，可以先用一条曲线把洞围起来(往往在原点出现这种情况（分母为0），所以曲线通常取令分母为常数的曲线)，然后在新曲线和原曲线围出的新区域上用格林公式，对于新曲线使用正常曲线积分方法(洞的循环常数)
使用格林公式计算区域面积
$$\begin{aligned}
\iint\limits_D dxdy&=\oint\limits_\Gamma xdy\\
&=\oint\limits_\Gamma -ydx \\
&=\frac{1}{2}\oint\limits_\Gamma xdy-ydx
\end{aligned}$$
满足 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} =1 $ 即可
第二类曲线积分与路径无关的条件
$$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y}$$
则曲线积分与路径无关，且在封闭曲线上的积分为 $0$
更一般的，在空间 $\R^3$ 上，若
$$
\begin{vmatrix}
\bold{i} &\bold{j} &\bold{k}\\
\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\
P &Q &R
\end{vmatrix} \equiv \bold{0}
$$
则曲线积分 $\int\limits_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz$ 与路径无关
求原函数
当曲线积分与路径无关时
$$\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)dy$$
有
$$u(x,y) = \int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy +C$$
通常，我们取 $x_0=y_0=0$
曲线积分的牛顿 - 莱布尼兹公式
当曲线积分与路径无关时
$$\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}Pdx+Qdy=u(x)\Big|_A^B = u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)$$
第二类曲面积分
高斯公式
$$\oiint\limits_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint\limits_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)dxdydz$$
$$\oiint\limits_S \bold{A} d\bold{S}= \iiint\limits_V \nabla \cdot \bold{A} dV = \iiint\limits_V \text{div}\ \bold{A} dV$$
Tips: 类似的，对于内部的洞，和格林公式一样处理
斯托克斯公式
$$
\begin{aligned}
&\quad\iint\limits_S(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) dydz+(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy\
&=\oint\limits_L Pdx+Qdy+Rdz\
\end{aligned}$$
$$\iint\limits_S(\nabla\times \bold{A})\cdot d\bold{S}=\iint\limits_S\bold{rot\ A}\cdot d\bold{S}=\oint\limits_L \bold{A} d\bold{s}$$