一些物理常数

标准大气压： $p_0 = 101325 \text{Pa}$

玻尔兹曼常量： $k=1.38*10^{-23} \text{J/K}$

(摩尔)气体常量： $R=N_Ak=8.31 \text{J/(mol}\cdot\text{ K)}$

理想气体

压强公式

$$p=\frac{1}{3}n\mu\bar{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon_t}=nkT$$

其中 $\mu$ 为单个分子的质量，$n$ 是分子的个数，$\bar{\varepsilon_t}$ 是分子的平均平动动能

分子平均平动动能与温度的关系

$$\bar{\varepsilon_t}=\frac{3}{2}kT$$

$k$ 是玻尔兹曼常量，$T$ 是热力学温度

方均根速率

$$\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

理想气体状态方程

$$pV=\nu RT$$

$\nu$ 为物质的量

能量均分原理

在平衡态下，分子每个自由度的平均能量都相等，均等于 $\frac{1}{2}kT$

自由度

单原子分子 $i=3$

双原子刚性分子 $i=5$ ，$3$ 个平动自由度，$2$ 个转动自由度

三原子刚性分子 $i=6$ ，$3$ 个平动自由度，$3$ 个转动自由度

在本书中，只考虑刚性分子

分子的平均能量

$$\bar\varepsilon=\frac{i}{2}kT$$

其中 $\frac{3}{2}kT$ 的能量属于分子平动动能，其余属于转动动能

理想气体的内能

$$E=\nu N_A(\frac{i}{2}kT)=\nu \frac{i}{2} RT$$

麦克斯韦气体分子速率分布律

速率分布函数

$$f(v)=N\cdot\frac{dN}{dv}$$

其实就是概率密度函数

最概然速率

必要条件：$\left.\dfrac{df(v)}{dv}\right|_{v_p}=0$

一些函数

平均 XX，都当成期望来算即可

比如，平均速率 $\bar v=E(v)=\int_0^{+\infty}vf(v)dv$

麦克斯韦速率分布率

麦克斯韦速率下的三种统计速率

最概然速率： $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$

平均速率： $\bar v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$

方均根速率：$\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

$$v_p \le \bar v \le \sqrt{\bar{v^2}}$$

等温气压公式

$$p=p_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}$$

其中 $p_0$ 为高度 $h=0$ 处气体的压强，$M$ 为空气的平均摩尔质量 $M=29\times 10^{-3}\text{kg/mol}$

气体分子数密度按高度的分布

$$n=n_0e^{-\frac{\varepsilon_p}{kT}}$$

其中，$n$ 为分子数密度 ($\rm {mol/m^3}$)，$n_0$ 为高度 $h=0$ 处的分子数密度，$\varepsilon_p$ 为高度 $h$ 处分子的重力势能

玻尔兹曼分布律

$$dN_{v,r} = n_0(\frac{\mu}{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}dv_xdv_ydv_zdxdydz$$

式中 $\varepsilon=\varepsilon_t + \varepsilon_p$

能量量子化与玻尔兹曼分布

$$N_i = Ae^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}\quad(i=0,1,\cdots)$$

气体分子的平均自由程

平均碰撞频率

$$\bar Z = \sqrt{2} \pi d^2n\bar v$$

平均自由程

$$\bar \lambda = \frac{\bar v}{\bar Z} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2n\bar v}\xlongequal[\text{理想气体}]{p=nkT}\frac{kT}{\sqrt 2 \pi d^2p}$$

气体内的迁移现象

热传导定律

$$dQ =- \kappa \frac{dT}{dz}dSdt$$

$$\kappa = \frac{1}{6}ikn\bar v\bar \lambda$$

粘滞定律

$$f=\frac{dP}{dt} = - \eta \frac{du}{dz} dS$$

$$\eta = \frac{1}{3} n\mu\bar v\bar \lambda = \frac{1}{3} \rho \bar v \bar \lambda$$

扩散定律

$$dm = - D\frac{d\rho}{dz}dSdt$$

$$D = \frac{1}{3} \bar v\bar\lambda$$

范德瓦尔斯方程

$$[p+a(\frac{\nu}{V})^2](V-\nu b)= \nu RT$$