准静态过程
热力学第一定律
$$\Delta E = Q+A$$
外界对气体做的功
$$A=-\int_{V_a}^{V_b}pdV$$
等体过程
$$\Delta E = \nu C_{V,m}\Delta T$$
定体摩尔热容
$$C_{V,m} = \frac{dQ_v}{\nu dT}\xlongequal{理想气体}\frac{i}{2}R$$
等压过程
$$\Delta E = \nu C_{p,m} \Delta T$$
循环过程
热机效率
$$\eta=\frac{Q_\text{吸}-Q_\text{放}}{Q_\text{吸}}$$
制冷系数
$$e=\frac{Q_\text{吸}}{Q_\text{放}-Q_\text{吸}}$$
吸收热量 $Q_\text{吸}=e\cdot A$
理想气体的几种多方过程
TODO
| 过程名称 | 等压过程 | 等温过程 | 绝热过程 | 等体过程 | 多方过程 |
|---|---|---|---|---|---|
| 多方指数 | $0$ | $1$ | $\gamma$ | $\pm\infty$ | $n$ |
| 过程方程 | $\frac{V}{T}=C$ | $pV=C$ | $pV^\gamma=C$ | $\frac{p}{T}=C$ | $pV^{n}=C$ |
| 摩尔热容 | $C_{p,m}$ | $\pm\infty$ | $0$ | $C_{V,m}$ | $C_m=\frac{n-\gamma}{n-1}C_{V,m}$ |
| 对外做功 | $p\Delta V=\nu R\Delta T$ | $\nu RT \ln\frac{V_b}{V_a}=p_aV_a\ln\frac{p_a}{p_b}$ | $\frac{\Delta(pV)}{1-\gamma}=-\nu C_{V,m}\Delta T$ | $0$ | $\frac{\Delta(pV)}{1-n}$ |
| 吸收热量 | $\nu C_{p,m}\Delta T$ | $\nu RT\ln \frac{V_b}{V_a}$ | $0$ | $\nu C_{V,m} \Delta T$ | $\nu C_m\Delta T=\nu C_{V,m} \Delta T+\frac{\Delta(pV)}{1-n}$ |
| 内能增量 | $\nu C_{V,m}\Delta T$ | $0$ | $\nu C_{V,m} \Delta T$ | $\nu C_{V,m}\Delta T$ | $\nu C_{V,m}\Delta T$ |
| 熵变大小 | $\nu C_{p,m}\ln\frac{T_b}{T_a}$ | $\nu R\ln\frac{V_b}{V_a}$ | $0$ | $\nu C_{V,m}\ln\frac{T_b}{T_a}$ | \ |
卡诺循环
- 由两个等温准静态过程和两个绝热准静态过程组成
- 在两个热源间进行的准静态循环过程，必为卡诺循环
卡诺机
只与温度为 $T_1$ 的高温热源和温度为 $T_2$ 的低温热源交换热量
卡诺循环过程
- 等温(膨胀)过程 $(p_a,V_a,T_1) \to (p_b,V_b,T_1)$
$$Q_1=\nu RT_1 \ln\frac{V_b}{V_a}$$
- 绝热(膨胀)过程 $(p_b,V_b,T_1) \to (p_c,V_c,T_2)$
$$T_1V_b^{\gamma-1}=T_2V_c^{\gamma-1}$$
- 等温(压缩)过程 $(p_c,V_c,T_2) \to (p_d,V_d,T_2)$
$$Q_2=\nu RT_2 \ln\frac{V_d}{V_c}$$
- 绝热(压缩)过程 $(p_d,V_d,T_2) \to (p_a,V_a,T_1)$
$$T_1V_a^{\gamma-1}=T_2V_d^{\gamma-1}$$
卡诺热机的效率
$$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}=0$$ $$ \Rightarrow\eta_C=\frac{T_1-T_2}{T_1} <1 $$
同理，制冷系数
$$e_C=\frac{T_2}{T_1-T_2}$$
卡诺定理
$$\eta\le\ \eta_C=\frac{T_1-T_2}{T_1}$$
热力学第二定律
- 开尔文表述：在不产生其他变化的条件下，热不能完全变成功
- 克劳修斯表述：在不产生其他变化的条件下，热量不能从低温物体传向高温物体
其他变化：可以理解为副作用(Side-effect)
熵
仅考虑可逆循环(或近似为可逆循环)
$$\Delta S=S_b-S_a=\int_a^b \frac{dQ}{T}$$