矩阵

Author: abklis

矩阵

线性变换的定义及矩阵的概念

线性变换(linear transformation):

文字描述不太好说,推荐去看这个线性代数本质

接下来运用这个视频里面的一些内容解释:

线性变换可以理解为对空间的挤压伸展,且保持"网格线平行且等距"的变换

变换和函数(function)类似,都是接收输入内容,并且输出对应结果,在线代的情况下,我们考虑变换是接收一个向量(vector),并且输出一个向量.变换这个词暗示你用“运动”去思考

矩阵

形如:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵,简称 $m \times n$ 矩阵,记作 $A_{m \times n}$ 或 $(a_{ij})_{m \times n}$ , $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素

接下来介绍一些不太重要的定义:

如果矩阵 $A$ 全为实数,则称为实矩阵
如果 $A$ 的元素含有复数,则称为复矩阵,
全为零的称为零矩阵,记作 $\Omicron$ 或 $\Omicron_{m \times n}$
只有一行(列)的称为行(列)矩阵
如果行数和列数相等,则称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵
除主对角线其他元素全为零的方阵称为n阶对角矩阵,记作 $\Lambda = diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$
主对角线全为 $1$ 的 $n$ 阶对角矩阵称为 $n$ 阶单位矩阵,记作 $\Epsilon$ 或 $\Epsilon_n$
主对角线全为 $k$ 的 $n$ 阶对角矩阵称为 $n$ 阶数量矩阵,记作 $k\Epsilon$ 或 $k\Epsilon_n$,
主对角线上(下)方全为零的方阵称为上(下)三角矩阵
行数和列数相等的两个矩阵称为同型矩阵

矩阵的线性运算,乘法和转置运算

矩阵的加减法

同型矩阵对应位置相加减,满足交换律,结合律

矩阵数乘

数k乘一个矩阵等于数 $k$ 乘以矩阵 $A$ 的每一个元素,即

$$ k\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

矩阵的乘法

设矩阵 $A$ 为 $m$ 行 $s$ 列的矩阵,矩阵 $B$ 是 $s$ 行 $n$ 列的矩阵,则乘积为 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $C$
$C_{ij}$ 等于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 第 $j$ 列对应元素乘积之和
左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数才有意义
一般不满足交换律和消去律:即: $AB\neq BA\quad AB=AC$ 未必有 $B=C$
满足结合律分配律,即 $(AB)C = A(BC)\quad A(B+C)=AB+AC$
$A^k$ 就是 $k$ 个 $A$ 相乘

转置矩阵与对称方阵

转置矩阵:把 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的行与列互换,得到的 $n\times m$ 矩阵 $A^\Tau$ 称为矩阵A的转置矩阵有如下规律:

$(A^\Tau)^\Tau=A$
$(A+B)^\Tau=A^\Tau +B^\Tau$
$(kA)^\Tau=kA^\Tau$
$(AB)^\Tau = B^\Tau A^\Tau$

如果 $A^\Tau=A$ ,则称 $A$ 为对称矩阵,如果$A^\Tau=-A$ ,则称 $A$ 为反对称矩阵

方阵的行列式

就是与方阵元素位置一样的行列式,记作 $|A|$ 或者 $det(A)$

有如下规律:

$|A^\Tau|=|A|^\Tau=|A|$
$|kA|=k^n \cdot |A|$ (矩阵数乘是乘矩阵每一个元素,而行列式是乘以某一行或者某一列元素)
$|AB|=|A||B|$

逆矩阵

逆矩阵的定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,如果存在一个 $n$ 阶方阵 $B$ ,使得 $AB=BA = \Epsilon$ ,则称矩阵 $A$ 可逆,并称B是A的逆矩阵,记作 $B = A^{-1}$,即 $AA^{-1} = A^{-1}A = \Epsilon$

$A^{-1}$ 实际上就是变换 $A$ 的逆过程:

矩阵可逆的充要条件

矩阵 $A$ 可逆的充要条件是$|A| \neq 0$；
伴随矩阵 $A^*$，$A^*$是将矩阵 $A$ 中每个位置的代数余子式求出后进行转置；
逆矩阵 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*$

若 $|A|\neq 0$,则称 $A$ 为满秩矩阵(非奇异矩阵),反之,称为降秩矩阵(奇异矩阵)

可逆矩阵的性质

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(kA^{-1})=\dfrac{1}{k}A^{-1}$
$(A^\Tau)^{-1}=(A^{-1})^\Tau$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=|A|^{-1}$

伴随矩阵的一些性质: $(kA)^*=k^{n-1}A^*\quad|A^*|=|A|^{n-1}$ (其他性质类似于可逆矩阵性质)

用逆矩阵求解线性方程组

$AX=b$,若 $|A| \neq 0$,则 $X=A^{-1}b$

eg:

$$ A\overrightarrow{\color{fuchsia}{X}}=\overrightarrow{\color{purple}{V}}\\ \begin{matrix} 2 {\color{green}{x}}+5{\color{#fa0}{y}}+3{\color{#00f}{z}}=-3\\ 4{\color{green}{x}}+0{\color{#fa0}{y}}+8{\color{#00f}{z}}=0\\ 1{\color{green}{x}}+3{\color{#fa0}{y}}+0{\color{#00f}{z}}= 2 \end{matrix} {\color{#f5a}{\longrightarrow}} \overbrace { \begin{bmatrix} 2\quad5\quad3\\ 4\quad0\quad8\\ 1\quad3\quad0\\ \end{bmatrix} }^{A} \overbrace{ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} }^{\overrightarrow{\color{fuchsia}{X}}} = \overbrace{ \begin{bmatrix} -3\\0\\2 \end{bmatrix} }^{\overrightarrow{\color{purple}{V}}} $$

$\overrightarrow{\color{fuchsia}{X}}$ 相当于变换A前的向量

$\overrightarrow{\color{purple}{V}}$ 相当于变换A后的向量

我们可以通过在等式两边同时左乘变换 $A$ 的逆过程 $A^{-1}$ 来通过 $\overrightarrow{\color{purple}{V}}$ 求得 $\overrightarrow{\color{fuchsia}{X}}$

分块矩阵

分块矩阵的概念

用横线和竖线把矩阵分成若干小矩阵,每一块称为 $A$ 的小块(或子矩阵)

分块矩阵的运算

分块矩阵加法

对应元素相加(对两矩阵的切分方法要一致)
数乘

和普通矩阵数乘差不多,不多赘述
分块矩阵的转置

文字不太好解释直接上示例:

$$ A= \left(\begin{array}{cc:cc} 1&0&4&-1\\ 0&1&1&2\\ \hdashline 0&0&2&0 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix}\\ $$

则

$$ A^{\Tau} = \begin{pmatrix} A_{11}^{\Tau}&A_{21}^{\Tau}\\ A_{12}^{\Tau}&A_{22}^{\Tau} \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{cc:c} 1&0&0\\ 0&1&0\\ \hdashline 4&1&2\\ -1&2&0 \end{array}\right) $$

分块矩阵的乘法对矩阵 $A$ 的列切分方式要与 $B$ 的行切分方式一致比如:

$$ A\times B= \left[\begin{array}{cc:c} 1&2&-1\\ 2&3&4\\ 2&1&5 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{} 1&-1\\ 2&0\\ \hdashline3&1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{} A_1A_2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{} B_1\\B_2 \end{array}\right] $$

分块三角矩阵

若 $A_1,A_2$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵,则:

$$ \begin{vmatrix} A_1 \quad \\ \quad A_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_2 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} A_2 \quad \\ \quad A_1 \\ \end{vmatrix} = (-1)^{m \times n} \begin{vmatrix} A_1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_2 \end{vmatrix} $$

若 $|A|\neq 0$ 则:

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1}\quad\quad\quad\quad\quad\\ \quad A_2^{-1} \quad \quad\\ \quad\quad\quad\ddots\quad\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad A_s^{-1} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \quad\quad A_1 \\ A_2 \quad \quad \\ \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \quad\quad A_2^{-1} \\ A_1^{-1}\quad \quad \\ \end{pmatrix} $$

矩阵的初等变换和初等矩阵

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换有以下3种变换:

交换矩阵的某两行(列) $r_i\leftrightarrow r_j$
用 $k$ (不为 $0$ )乘某一行(列)的所有元素$r_i\times k$
某一行(列)乘以 $k$ 倍加到另外一行(列)上 $r_i+k\cdot r_j$

列变换把r(row)改成c(column)就行

初等矩阵

对单位矩阵 $E$ 进行一次初等行变换或者列变换，这样的矩阵称之为初等矩阵

设 $A$ 是一个 $𝑚 \times 𝑛$ 阶矩阵，对 $A$ 实施一次初等行变换，等效于在其左侧乘以相应的 $𝑚$ 阶初等矩阵；
设 $A$ 是一个 $𝑚 \times 𝑛$ 阶矩阵，对 $A$ 实施一次初等列变换，等效于在其右侧乘以相应的 $𝑛$ 阶初等矩阵。

求逆矩阵的初等变换方法

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则可以通过行初等变换将 $A$ 化为单位矩阵 $E$

推论:方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积

利用行初等变换求逆矩阵的方法:将矩阵 $A$ 与 $E$ 并排放在一起，$E$ 要与 $A$ 进行相同的行变换，如果将矩阵 $A$ 通过行变换逐步转化为单位矩阵，这时 $E$ 就变成了 $A^{-1}$

矩阵的秩

$k$ 阶子式:在矩阵 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列,位于 $k$ 行 $k$ 列交叉位置的元素组成的 $k$ 阶行列式
行阶梯型矩阵:

如果有全为 $0$ 的行,该行排在非全 $0$ 行的下面
从第一行起，下面每一行自左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加

矩阵秩的求法:通过阶梯型行变换(变换为阶梯型行列式)后,矩阵中不全为 $0$ 的行数，定义为秩，矩阵 $A$ 的秩记为 $r(A)$

等价矩阵:如果矩阵 $A$ 经过初等变换为矩阵 $B$,则称 $A$ 与 $B$ 等价,记作 $A\cong B$ 具有以下性质:

$A\cong A$
若 $A\cong B$ , 则 $B\cong A$
若 $A\cong B,B\cong C$ ,则 $A\cong C$

设 $A,B$ 是同型矩阵，则 $A\cong B$ 的充分必要条件是 $r(A)=r(B)$