基础部分待补全
空间直线
点到空间直线的距离
$$d= \frac{|\overset{\rightarrow}{AB}\times \overset{\rightarrow}{S}|}{|\overset{\rightarrow}{S}|}$$
其中 $\overset{\rightarrow}{S}$ 为直线的方向向量，$B$ 为直线上一点，$d$ 为 $A$ 到直线的距离。
空间曲线
空间曲线在平面上的投影方程
设有平面 $$Ax+By+Cz+D=0$$
该平面的法向量为 $\overset{\to}n=\{A,B,C\}$
对曲线上的任何一点 $\{x_0,y_0,z_0\}$，过该点作平行于 $\overset{\to}n$ 的直线，即
$$\left\{\begin{aligned}
x_0=x+At\\
y_0=y+Bt\\
z_0=z+Ct
\end{aligned}\right.$$
代入原曲线方程，消去 $t$，得到方程 $\psi(x,y,z)=0$
则投影曲线方程为
$$\left\{\begin{aligned}
\psi(x,y,z)=0\\
Ax+By+Cz+D=0
\end{aligned}\right.$$
矢量导数
若 $\overset{\to}r(t)=x(t)\overset{\to}i+y(t)\overset{\to}j+z(t)\overset{\to}k$，则
$$\frac{d\overset{\to}r}{dt}=\overset{\to}r'(t)=x'(t)\overset{\to}i+y'(t)\overset{\to}j+z'(t)\overset{\to}k=\{x'(t),y'(t),z'(t)\}$$
对矢量的导数等于对其各个分量求导
空间曲线的切线与法平面
设有空间曲线
$$\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{aligned}\right.$$
切线方程
当$x'(t),y'(t),z'(t)$ 都具有连续的导数，且不同时为 $0$ ，则曲线的切线为
$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$$
法平面方程
条件同上
$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$$
一般空间曲线
$$\left\{\begin{aligned}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{aligned}\right.$$
切线
两个空间曲面的法矢量
$$\left\{\begin{aligned}
\overset{\to}{n_1}&=\{F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)\}\\
\overset{\to}{n_2}&=\{G'_x(x_0,y_0,z_0),G'_y(x_0,y_0,z_0),G'_z(x_0,y_0,z_0)\}
\end{aligned}\right.$$
切矢量和两个空间曲面的法矢量都垂直
$$\overset{\to}v=\overset{\to}{n_1}\times \overset{\to}{n_2}$$
不妨设
$$\overset{\to}v=(a,b,c)$$
则 切线为
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
空间曲面的切平面与法线
设有曲面 $F(x,y,z)=0$ ，则
切平面方程
当 $F(x,y,z)$ 具有连续的偏导数时，曲面的切平面为
$$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$
法线方程
条件同上
$$\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}$$