级数

数项级数

正项级数敛散性的判断方法

比较判别法(的极限形式)

$$ \text{记} \lim_{x\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\\ \begin{cases} \text{同收同发} \quad 0 < l < +\infty\\ u_n \text{收敛} \quad l=0,v_n\text{收敛}\\ u_n \text{发散} \quad l=+\infty,v_n\text{发散}\\ \text{无法判断} \quad \text{其它} \end{cases}$$

比值判别法

$$\text{记} \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma\\ u_n \begin{cases} \text{收敛} \quad \gamma<1\\ \text{发散} \quad \gamma>1\\ \text{未知} \quad \gamma=1 \end{cases} $$

根值判别法

$$\text{记} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\gamma\\ u_n \begin{cases} \text{收敛} \quad \gamma<1\\ \text{发散} \quad \gamma>1\\ \text{未知} \quad \gamma=1 \end{cases} $$

积分判别法

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n\text{与}\int_1^{+\infty} f(x)dx \text{同收同发}$$

交错级数敛散性的判断方法

莱布尼兹判别法

$$\text{若} u_n\ge u_{n+1},\lim_{n\to\infty} u_n =0,\text{则} \sum^{\infty}_{n} (-1)^{n-1}u_n\text{收敛}$$

幂级数

$$S(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$$

幂级数的收敛半径

$$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}= R$$

唯一性定理

$$a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!}$$

函数展成幂级数

泰勒级数

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

常见的麦克劳林展开

$$\quad e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

$$\quad \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\quad \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad \text{形式幂级数(等比数列求和)}$$

$$\quad (1+x)^a = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n}x^n\quad \text{广义二项式定理}\\ \text{其中} \dbinom{a}{n} = \dfrac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!},\text{规定} \dbinom{a}{0} = 1 $$

推论： $$\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad \text{用} \sin x \text{求导}$$

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\quad \text{先积分再求导}$$

$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{n} \quad \text{x 用 -x 代}$$

$$\quad \ln (1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{上式积分即可}$$

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad \text{先求导再积分}$$

$$ \begin{aligned} \sqrt{1+x} &= (1+x)^{\frac{1}{2}}\\ &= 1+\frac{1}{2}x+\sum_{n=2}^\infty \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})\cdots(-\frac{2n-3}{2})}{n!}x^n \\ &= 1+\frac{1}{2}x+\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!)}x^n \end{aligned} $$

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}} = 1+ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$$

技巧: $2^n\cdot n! = (2n)!! $

傅里叶级数

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})=S(x)\quad\text{其中} f(x) \text{的周期} T=2l$$

$$\begin{cases} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l} dx\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l} dx \end{cases}$$

狄利克雷定理

$$S(x) = \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$$

常见的傅里叶级数

$$x\sim 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx\quad x\in(-\pi,\pi)$$

$$x^2\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx\quad x\in(-\pi,\pi)$$

推论：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} = \frac{\pi^2}{24}$$