行列式

Author: abklis

行列式

二三阶行列式

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{12}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases} $$

二阶行列式

形如:

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} $$

称为二阶行列式,构成行列式的数称为元素,$a_{ij}$称为行列式 $D$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素

主对角线:\,副对角线/

三阶行列式

对于三元线性方程组

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases} $$

我们引入三阶行列式

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}, D_1 = \begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\ b_{2}&a_{22}&a_{23}\\ b_{3}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}, D_2 = \begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\\ a_{21}&b_2&a_{23}\\ a_{31}&b_3&a_{33}\\ \end{vmatrix}, D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&b_{2}\\ a_{31}&a_{32}&b_{3}\\ \end{vmatrix} $$

其中, $D$ 称之为方程组的系数行列式

$x_1 = \dfrac{D_1}{D},x_2 = \dfrac{D_2}{D},x_3 = \dfrac{D_3}{D}$

$n$ 阶行列式

排列的逆序与奇偶性

$n$ 级排列: $n$ 个自然数 $1,2,3,\cdots,n$ 按照一定的次序排成的一个数组
自然排列:$1,2,\cdots,n$ 称为自然排列
逆序数: 较大的数排在较小数的前面,称这两个数构成逆序,逆序数即为排列中逆序的总数
奇(偶)排列:逆序数为奇(偶)数的排列
对换:两个数互换位置,相邻两个数对换称为临换
- 一次对换改变排列奇偶性

$n$ 阶行列式的定义

符号

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \sum\limits_{i_1i_2\cdots i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2 \cdots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2} \cdots a_{ni_n} $$

表示 $n$ 阶行列式,有 $n!$ 项相加,每一项符号为 $(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}$ 决定

上(下)三角行列式:主对角线上(下)面元素全为 $0$ 的行列式,除主对角线全为 $0$ 的为对角行列式($\Lambda$)

主对角线上(下)三角行列式:

$$ D = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

副对角线上(下)三角行列式

$$ D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $$

行列式的性质

性质1:行列式与它的转置行列式相等

转置行列式:把行列式 $D$ 的行和列互换,记作$D^\Tau$,显然$(D^\Tau)^\Tau = D$

性质2:交换行列式两行(两列),行列式改变符号

推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式等于 $0$

性质3:一个数 $k$ 乘行列式,等于行列式某一行(列)的所有元素乘以 $k$ (也就是说,行列式某一行或列有公因子可以提到外面)

推论:如果有两行(列)对应成比例,则行列式等于 $0$

性质4:如果行列式的某一行(列)可以表示为两项的和,则该行列式可以表示为两个行列式的和

性质5: 行列式的第 $i$ 行(列)元素的 $k$ 倍加到第 $j$ 行(列)的对应元素上,行列式的值不变

行列式按行(列)展开

余子式与代数余子式

$k$ 阶子式:行列式 $D$ 中取 $k$ 行 $k$ 列,交叉元素构成的行列式称为行列式 $D$ 的 $k$ 阶子式

代数余子式:把$a_{ij}$所在的行和列划去后,剩下的行列式叫做$a_{ij}$的余子式,记作$M_{ij}$,称$A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}$,叫做$a_{ij}$的代数余子式

行列式按行(列)展开法则

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

即 $D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} +\cdots+ a_{in}A_{in} $

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

即 $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} +\cdots+a_{in}A_{jn} = 0,i \neq j$

显然,如此相乘无异于把行列式 $D$ 的"另外一行"替换为"某一行",求出来的值相当于包含两个相同的"某一行",其他数值不变的 $D'$ ,显然 $D'=0$
范德蒙德行列式:

$$ D_n = \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1 \\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod\limits_{i\leqslant j < i \leqslant n}(a_i - a_j) $$

克莱姆(Cramer)法则

克莱姆(Cramer)法则:含有 $n$ 个未知量和方程的线性方程组,当系数行列式 $D\neq 0$ 时,$x_j = \dfrac{D_j}{D}$ 其中 $D_j$ 为把 $D$ 的第 $j$ 列替换为方程组的常数列得到的行列式(例子参考1.1)