静电场

真空中的静电场

库仑定律

$$ \boldsymbol{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \boldsymbol{e} $$

库仑定律只适用于点电荷，对于非点电荷需要进行积分运算

电场强度

电场强度的定义式

$$ \boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q} $$

点电荷的电场强度

$$ \boldsymbol{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \boldsymbol{e} $$

场强叠加原理

$$ \boldsymbol{E} = \sum \boldsymbol{E_i} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\sum \frac{q_i}{r^2} \boldsymbol{e_i} $$

对于连续情况，只需将 $\sum$ 改为 $\int$ 即可

常见系统的场强分布

电偶极子的场强

$$ \boldsymbol{E} = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{p_e}}{x^3} \newline \boldsymbol{p_e} = q \boldsymbol{l} \quad \boldsymbol{l}\ \text{的方向从负电荷指向正电荷} $$
均匀带电细圆环轴线上的场强

$$ E=\frac{qz}{4\pi \varepsilon_0(z^2+R^2)^{3/2}} $$
均匀带电薄圆盘轴线上的场强

$$ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}) $$

电通量

电通量的定义式

$$ d\Phi_e=\boldsymbol{E}\cdot d \boldsymbol{S} $$

高斯定理

静电场是有源场

通过任何闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电量的代数和除以 $\varepsilon_0$。

$$ \Phi_e=\oint_s\boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum q_i $$

静电场的环路定理

静电场是有势场

$$ \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} =0 $$

电势能

$$ W_P = A_{P \infty} = \int_P^\infty q_0 \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{l} $$

电势

$$ U_P = \frac{W_P}{q_0} = \int_{P}^{\infty} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{l} $$

电势差

$$ U_{ab} = U_a - U_b = \int_a^b\boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{l} $$

$$ A_{ab} = q_0 U_{ab} $$

点电荷电场中的电势

$$ U_P = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} $$

电势叠加原理

$$ U_P = \sum\frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0 r_i} $$

对于连续情况，只需将 $\sum$ 改为 $\int$ 即可

常见系统的电势分布

电偶极子的电势

$$ \begin{aligned} U_P &= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{py}{(x^2+y^2)^{3/2}} \newline &= \frac{\boldsymbol{p \cdot e_r}}{4\pi \epsilon_0 r^2} \end{aligned} $$

其中 $\boldsymbol{e_r}$ 为从 $o$ 指向 $P$ 点矢径 $\boldsymbol{r}$ 的单位矢量。
均匀带电圆环的电势

$$ U_P = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2+z^2}} $$

当 $z=0$ 时，圆环中心电势等于 $\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$
均匀带电球面的电势

$$ U_P = \left\{ \begin{aligned} &\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} \quad r>R \quad \text{相当于电荷聚集在球心}\newline &\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} \quad r\le R \end{aligned} \right. $$
无限长均匀带电直线的电势

$$ U_P = -\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r + C $$

其中 C 为与所选取的电势零参考点有关的常数

电场强度与电势梯度的关系

$$ \boldsymbol{E} = -\mathbf{grad}\ U $$

静电场中的导体和电介质

导体的静电平衡

导体内部场强处处为零
导体表面外侧，紧靠表面处的场强处处与表面垂直
导体是个等势体，导体表面是个等势面

静电平衡时导体上的电荷分布

电荷分布在导体外表面上
$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

注意，第二个公式将面视为内外两面

电容与电容器

电容的定义式

$$ C=\frac{Q}{U} $$

真空中孤立导体球 $C=4 \pi \varepsilon_0 R$

电容器的电容

$$ C=\frac{Q}{U_A-U_B} $$

常见电容器的电容

平行板电容器

$$ C=\varepsilon_0 \frac{S}{d} $$
圆柱形电容器

$$ C=\frac{2 \pi \varepsilon_0 l}{\ln \frac{R_B}{R_A}} $$
球形电容器

$$ C=\frac{4 \pi \varepsilon_0 R_A R_B}{R_B - R_A} $$

电容器的串并联

串联

$$ \frac{1}{C} = \sum \frac{1}{C_i} $$
并联

$$ C = \sum C_i $$

静电场中的电介质

电介质对电场的影响

$$ U=\frac{U_0}{\varepsilon_r} $$

$$ C=\varepsilon_r C_0 $$

$$ E=\frac{E_0}{\varepsilon_r} $$

极化强度

极化强度的定义式

$$ \boldsymbol{P} = \frac{\sum \boldsymbol{p}_i}{\Delta V} $$

单位体积内分子电矩的矢量和

极化强度与电场强度的关系

$$ \boldsymbol{P} = \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E} $$

极化强度与极化电荷面密度的关系

$$ \lvert \boldsymbol{P} \rvert = \frac{\sigma’}{\cos \theta} $$

$$ \sigma’= \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{e}_n $$

均匀电介质极化时，极化电荷面密度等于极化强度在该点表面处的法向分量

电介质中的场强

$$ E=E_0-E' $$

当电介质表面是等势面时

$$ E=\frac{E_0}{\varepsilon_r} $$

$$ \sigma’=\sigma_0(1-\frac{1}{\varepsilon_r}) $$

电位移

$$ \boldsymbol{D}=\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} $$

对各向同性均匀电介质

$$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \boldsymbol{E} = \varepsilon\boldsymbol{E} $$

介质中的高斯定理

$$ \oint \boldsymbol{D}\cdot d \boldsymbol{S} = \sum q_0 $$

静电场的能量

点电荷系统的静电能

$$W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} q_iU_i$$

对于连续的情况，只需将 $\sum$ 改为 $\int$ 即可

电容器的能量

$$ W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}C U^2 $$

此处 $U$ 指电容器电势差

电场的能量

$$ W=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 Sd=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 V $$

电场能量密度

$$ \omega_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2} D E $$

稳恒电流

电流强度

$$ I=\frac{dq}{dt} $$

电流密度矢量

$$ j = \frac{dI}{dS} $$

方向为该点正电荷的运动方向

这章似乎后面的不考，再补吧