- 空间曲线上一点的切线,空间内一点到直线的距离
- 空间曲线在平面上的投影
- 梯度的定义，计算，隐函数求偏导
- 链式分层图求偏导，高阶偏导
- 方向导数的定义，可微的判断
- 级数敛散性的判断
$$\text{级数}\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{n}\text{收敛，证明如下}$$
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{n} / \frac{1}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1$$
即 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{n}$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 同收同发，而后者收敛，因此原级数收敛
- 函数展成幂级数
- 二重积分，利用奇函数性质简化计算
- 三重积分
- 第二类曲线积分，积分与路径无关性
- 第二类曲面积分，高斯公式
- 第一类曲线积分，极坐标变换
- 多元函数的极值，隐零点
- 方向导数和梯度的关系，高斯公式（格林公式的散度形式）
$proof.$
$$
\begin{aligned}
\text{要证：} &\iiint\limits_\Omega (u\Delta v-v\Delta u)dV = \oiint\limits_\Gamma (u\frac{\partial v}{\partial \bold{n}}-v\frac{\partial u}{\partial \bold{n}})dS\\
\text{只要证：} &\iiint\limits_\Omega(u\Delta v)dV = \oiint\limits_\Gamma(u\frac{\partial v}{\partial \bold{n}})dS \\
\text{注意到：}\\
&\Delta v = \nabla\cdot \nabla v\\
&v(x,y,z) {具有连续的一阶偏导数},\quad \text{即}\frac{\partial v}{\partial \bold{n}} = \nabla v\cdot \bold{n}\\\\
\text{因此要证：} &\iiint\limits_\Omega(u\cdot(\nabla\cdot \nabla v))dV = \oiint\limits_\Gamma(u\cdot(\nabla v\cdot \bold{n}))dS\\
u \text{是数量函数，即要证：} &\iiint\limits_\Omega(\nabla\cdot u\nabla v)dV = \oiint\limits_\Gamma(u\nabla v\cdot \bold{n})dS\\
\text{令} \bold{A} =u\nabla v \quad \text{则去证：} &\iiint\limits_\Omega(\nabla\cdot \bold{A})dV = \oiint\limits_\Gamma(\bold{A}\cdot \bold{n})dS\\
&\text{这就是高斯公式}\\
\end{aligned}
$$
$Q.E.D.$