电磁学
静电场相关公式
- 库仑定律：$F_{21}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}^{2}}\hat{r}_{12}$
- 物理量含义：$F_{21}$是点电荷$q_{1}$对$q_{2}$的作用力；$\varepsilon_{0}$是真空中的介电常数，$\varepsilon_{0}=8.85\times10^{-12}C^{2}/(N\cdot m^{2})$；$q_{1}$、$q_{2}$是两个点电荷的电量；$r_{12}$是两点电荷之间的距离；$\hat{r}_{12}$ 是从$q_{1}$指向$q_{2}$的单位矢量。
- 物理意义：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小和它们电量的乘积成正比，和它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
- 电场强度定义：$E=\frac{F}{q_{0}}$
- 物理量含义：$E$是电场强度；$F$是试验电荷$q_{0}$在电场中所受的力；$q_{0}$是试验电荷的电量（电量小，可看成点电荷）。
- 物理意义：电场中某点的电场强度等于单位试验电荷在该点所受的电场力，它反映了电场的强弱和方向。
- 点电荷的电场强度：$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}$
- 物理量含义：$q$是点电荷的电量；$r$是场点到点电荷的距离；$\hat{r}$是从点电荷指向场点的单位矢量。
- 物理意义：描述了点电荷在空间产生的电场强度分布，表明点电荷产生的电场强度大小与点电荷电量成正比，与距离的平方成反比，方向沿径向。
- 场强叠加原理（点电荷系）：$E=\sum_{i = 1}^{n}E_{i}=\sum_{i = 1}^{n}\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}^{2}}\hat{r}_{i}$
- 物理量含义：$E_{i}$是第$i$个点电荷单独产生的电场强度；$q_{i}$是第$i$个点电荷的电量；$r_{i}$是场点到第$i$个点电荷的距离；$\hat{r}_{i}$是从第$i$个点电荷指向场点的单位矢量。
- 物理意义：点电荷系产生的电场在某点场强等于各点电荷单独存在时产生的电场在该点场强的矢量和，体现了电场强度的矢量叠加性。
- 场强叠加原理（连续带电体）：$E=\int dE=\int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}$
- 物理量含义：$dq$是带电体上的电荷微元；$r$是场点到电荷微元的距离；$\hat{r}$是从电荷微元指向场点的单位矢量。
- 物理意义：对于电荷连续分布的带电体，可将其分割成微元，每个微元视为点电荷，通过积分计算出整个带电体在某点产生的电场强度，是场强叠加原理在连续带电体情况下的应用。
- 电通量定义（一般情况）：$\Phi_{e}=\int_{S}E\cdot dS$
- 物理量含义：$\Phi_{e}$是电通量；$E$是电场强度；$dS$是曲面$S$上的面积元矢量，其大小为面积元的面积，方向为该面元的法线方向。
- 物理意义：穿过曲面$S$的电通量等于穿过该曲面的电场线条数，用于描述电场与曲面的关系，反映电场在空间的分布情况。
- 高斯定理（闭合曲面）：$\Phi_{e}=\oint_{S}E\cdot dS = \frac{\sum q}{\varepsilon_{0}}$
- 物理量含义：$\oint_{S}$表示对闭合曲面$S$进行积分。
- 物理意义：通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和除以$\varepsilon_{0}$，高斯定理揭示了电场与电荷之间的内在联系，是静电场的基本定理之一。
- 高斯定理（均匀带电球面）：$E=\begin{cases}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}e_{r},&r>R\\0,&r < R\end{cases}$
- 物理量含义：$q$是均匀带电球面的总电量；$r$是场点到球心的距离；$e_{r}$是沿径向的单位矢量。
- 物理意义：给出了均匀带电球面在空间产生的电场强度分布，在球面外，电场强度分布与点电荷产生的电场相同；在球面内，电场强度为零。
- 高斯定理（无限大平板）：$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$
- 物理量含义：$\sigma$是无限大平板的电荷面密度。
- 物理意义：描述了无限大均匀带电平板两侧的电场强度，其大小与电荷面密度成正比，方向垂直于平板表面，表明无限大平板产生的电场是均匀电场。
- 高斯定理（均匀带电圆柱面）：$E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}$
- 物理量含义：$\lambda$是均匀带电圆柱面的线密度；$r$是场点到圆柱面轴线的垂直距离。
- 物理意义：用于计算均匀带电圆柱面在空间产生的电场强度，电场强度大小与线密度成正比，与距离成反比，方向沿圆周的切线方向，体现了圆柱面对称性对电场分布的影响。
- 电势能定义：$W_{P}=\int_{P}^{\infty}q_{0}E\cdot dl$
- 物理量含义：$W_{P}$是试验电荷$q_{0}$在$P$点的电势能；$E$是电场强度；$dl$是积分路径上的线元矢量。
- 物理意义：表示将试验电荷$q_{0}$从$P$点移动到无穷远处电场力所做的功，反映了电荷在电场中某点具有的能量，电势能是相对的，通常规定无穷远处电势能为零。
- 电势定义：$U_{P}=\frac{W_{P}}{q_{0}}=\int_{P}^{P_{0}}E\cdot dl$
- 物理量含义：$U_{P}$是$P$点的电势；$P_{0}$是电势为零的参考点（通常取无穷远处）。
- 物理意义：某点电势能与其电荷量的比值，数值上等于单位正电荷在该处具有的电势能，电势是描述电场能的性质的物理量，它只与电场本身的性质有关，与试验电荷无关。
- 电势叠加定理（点电荷系）：$U=\sum_{i = 1}^{n}U_{i}=\sum_{i = 1}^{n}\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}}$
- 物理量含义：$U_{i}$是第$i$个点电荷单独在某点产生的电势；$q_{i}$是第$i$个点电荷的电量；$r_{i}$是该点到第$i$个点电荷的距离。
- 物理意义：点电荷系电场中某点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和，体现了电势的叠加性，便于计算复杂点电荷系的电势分布。
- 电场强度与电势梯度的关系：$E=-\text{grad}~U=-(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z})$
- 物理量含义：$\text{grad}~U$是电势$U$的梯度；$\frac{\partial U}{\partial x}$、$\frac{\partial U}{\partial y}$、$\frac{\partial U}{\partial z}$分别是电势$U$沿$x$、$y$、$z$方向的偏导数；$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别是$x$、$y$、$z$方向的单位矢量。
- 物理意义：电场中任一点的电场强度矢量等于该点电势梯度矢量的负值，表明电场强度的方向指向电势降低最快的方向，电场强度的大小等于电势在该方向上变化率的负值，建立了电场强度与电势之间的定量关系，可通过电势分布计算电场强度分布。
静电场中导体与电介质相关公式
- 导体表面场强与电荷面密度的关系（静电平衡时）：$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$
- 物理量含义：$E$是导体表面外侧紧靠表面处的场强；$\sigma$是导体表面的电荷面密度。
- 物理意义：在静电平衡状态下，导体表面外侧的电场强度大小与导体表面的电荷面密度成正比，反映了导体表面电荷分布与电场强度之间的关系，是静电平衡条件的重要体现。
- 电容器电容定义：$C=\frac{Q}{U_{A}-U_{B}}$
- 物理量含义：$C$是电容器的电容；$Q$是电容器一个极板所带的电荷量（取绝对值）；$U_{A}-U_{B}$是电容器两极板之间的电势差。
- 物理意义：衡量电容器储存电荷能力的物理量，电容等于电容器极板所带电荷量与两极板间电势差的比值，电容越大，在相同电势差下储存的电荷量越多。
- 电容的串联公式：$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\cdots+\frac{1}{C_{n}}$
- 物理量含义：$C$是串联电容器组的等效电容；$C_{1}$、$C_{2}$、$\cdots$、$C_{n}$是串联的各个电容器的电容。
- 物理意义：多个电容器串联时，其等效电容的倒数等于各电容器电容倒数之和，反映了串联电容器组合后的电容特性，串联后总电容小于任何一个分电容。
- 电容的并联公式：$C = C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}$
- 物理量含义：$C$是并联电容器组的等效电容；$C_{1}$、$C_{2}$、$\cdots$、$C_{n}$是并联的各个电容器的电容。
- 物理意义：多个电容器并联时，等效电容等于各电容器电容之和，表明并联电容器组合后的电容增大，总电容大于任何一个分电容，且各电容器两端电压相等。
- 电介质中的高斯定理：$\oint_{S}D\cdot dS=\sum q_{0}$
- 物理量含义：$D$是电位移矢量；$\sum q_{0}$是闭合曲面$S$所包围的自由电荷的代数和。
- 物理意义：通过电场中任意闭合曲面的位移电通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和，引入电位移矢量$D$后，在有电介质存在的情况下，高斯定理的形式更为简洁，便于计算电场强度等物理量。
- 电位移与电场强度、极化强度的关系：$D=\varepsilon_{0}E + P$
- 物理量含义：$P$是极化强度矢量。
- 物理意义：描述了电介质中电位移矢量与电场强度和极化强度之间的关系，反映了电介质在电场作用下的极化对电场的影响，是研究电介质中电场分布的重要公式。
- 极化强度与电场强度的关系（线性介质）：$P=\varepsilon_{0}\chi_{e}E=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)E$
- 物理量含义：$\chi_{e}$是电极化率；$\varepsilon_{r}$是相对介电常数。
- 物理意义：对于线性电介质，极化强度与电场强度成正比，比例系数为$\varepsilon_{0}\chi_{e}$或$\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)$，体现了电介质在电场作用下的极化特性，不同电介质具有不同的电极化率和相对介电常数，决定了其极化程度。
- 极化电荷面密度与极化强度的关系（均匀电介质）：$\sigma’ = P\cdot e_{n}$
- 物理量含义：$\sigma’$是电介质表面的极化电荷面密度；$e_{n}$是电介质表面的法向单位矢量。
- 物理意义：均匀电介质极化时，电介质表面上某点处的极化电荷面密度等于极化强度在该点表面法向分量，揭示了电介质极化后表面电荷分布与极化强度之间的定量关系，对于理解电介质对电场的影响具有重要意义。
- 点电荷系统的能量公式：$W=\frac{1}{2}\sum q_{i}U_{i}$
- 物理量含义：$W$是点电荷系统的总能量；$q_{i}$是第$i$个点电荷的电量；$U_{i}$是除$q_{i}$外其他所有电荷在$q_{i}$所在处产生的电势。
- 物理意义：计算点电荷系统所具有的总能量，能量等于每个点电荷与其所在处电势的乘积之和的一半，反映了点电荷系统中电荷之间的相互作用能。
- 电容器的能量公式：$W=\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}=\frac{1}{2}Q(U_{A}-U_{B})=\frac{1}{2}C(U_{A}-U_{B})^{2}$
- 物理量含义：$Q$是电容器极板所带电荷量；$U_{A}-U_{B}$是两极板间电势差；$C$是电容器电容。
- 物理意义：从不同角度描述了电容器储存的能量，能量与电荷量的平方成正比，与电容成反比，也与电势差的平方成正比，体现了电容器储存电能的特性，可根据已知条件选择合适的公式计算电容器的能量。
- 电场能量公式（电能密度）：$w_{e}=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}=\frac{1}{2}DE$
- 物理量含义：$w_{e}$是电能密度；$V$是电场存在的体积；$\varepsilon$是电介质的介电常数。
- 物理意义：表示单位体积内的电场能量，电场能量密度与电场强度的平方成正比，与介电常数有关，通过对电能密度在一定体积内积分可得到电场的总能量，用于计算电场能量在空间的分布情况。
- 电场能量公式（非均匀电场）：$W=\int_{V}w_{e}dV$
- 物理量含义：积分区域$V$是电场存在的空间范围。
- 物理意义：计算非均匀电场在整个空间范围内的总能量，通过将电场划分为无数个体积微元，计算每个微元内的电能密度并积分求和，得到电场的总能量，适用于一般情况下电场能量的计算。
稳恒磁场相关公式
- 电流强度定义：$I=\frac{dq}{dt}$
- 物理量含义：$I$是电流强度；$dq$是在时间$dt$内通过导体横截面的电荷量。
- 物理意义：描述单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，是衡量电流大小的物理量，电流强度越大，表示单位时间内通过导体横截面的电荷量越多。
- 电流密度与电流强度的关系：$I=\int_{S}j\cdot dS$
- 物理量含义：$j$是电流密度矢量；$dS$是导体横截面上的面积元矢量，其大小为面积元的面积，方向为该面元的法线方向。
- 物理意义：通过导体某一横截面的电流强度等于电流密度矢量在该横截面上的通量，反映了电流在导体截面上的分布情况，对于非均匀电流分布的情况，需要通过积分来计算电流强度。
- 电流密度与漂移速度的关系（金属导体）：$j=-nev_{d}$
- 物理量含义：$n$是自由电子数密度；$e$是基本电荷；$v_{d}$是自由电子的漂移速度。
- 物理意义：在金属导体中，电流密度与自由电子的数密度、电荷量以及漂移速度有关，表明电流是由大量自由电子的定向漂移运动形成的，漂移速度越大，电流密度越大，负号表示电流方向与电子漂移方向相反。
- 毕奥 - 萨伐尔定律（电流元产生的磁感应强度）：$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Idl\times r}{r^{3}}$
- 物理量含义：$dB$是电流元$Idl$在点$P$处产生的磁感应强度；$\mu_{0}$是真空磁导率，$\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}N/A^{2}$；$Idl$是电流元，$I$是电流强度，$dl$是电流元的长度矢量，方向为电流的方向；$r$是从电流元指向场点$P$的矢量。
- 物理意义：给出了电流元在空间产生磁感应强度的规律，表明电流元产生的磁感应强度大小与电流元的电流强度、长度以及到场点的距离有关，方向垂直于$Idl$与$r$组成的平面，遵循右手螺旋定则，是计算任意形状载流导线产生磁感应强度的基础。
- 长直载流导线产生的磁感应强度：$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a}$（距离导线$a$处）
- 物理量含义：$I$是长直载流导线中的电流强度；$a$是场点到导线的垂直距离。
- 物理意义：计算长直载流导线周围空间产生的磁感应强度分布，表明磁感应强度大小与电流强度成正比，与距离成反比，方向为环绕导线的圆周切线方向，符合右手螺旋定则，适用于无限长或可近似为无限长的直导线情况。
- 载流圆线圈在圆心处产生的磁感应强度：$B=\frac{\mu_{0}I}{2R}$
- 物理量含义：$I$是载流圆线圈中的电流强度；$R$是圆线圈的半径。
- 物理意义：给出了载流圆线圈在其圆心处产生的磁感应强度大小，与电流强度成正比，与半径成反比，方向垂直于圆线圈平面，同样遵循右手螺旋定则，可用于计算圆形电流在中心位置产生的磁场强度。
- 圆弧形电流在圆心处产生的磁感应强度（圆心角$\theta$）：$B=\frac{\mu_{0}I}{2R}\frac{\theta}{2\pi}$
- 物理量含义：$\theta$是圆弧形电流所对的圆心角。
- 物理意义：计算圆弧形载流导线在其圆心处产生的磁感应强度，在载流圆线圈公式的基础上，考虑了圆心角的影响，表明圆心角越大，在圆心处产生的磁感应强度越大，可用于计算部分圆弧电流产生的磁场。
- 安培环路定理：$\oint_{L}B\cdot dl=\mu_{0}\sum I_{内}$
- 物理量含义：$\oint_{L}$表示沿闭合回路$L$的线积分；$B$是磁感应强度矢量；$dl$是回路$L$上的线元矢量；$\sum I_{内}$是闭合回路$L$所包围的电流的代数和。
- 物理意义：在稳恒磁场中，磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于闭合回路所包围电流的代数和的$\mu_{0}$倍，反映了磁场的环流与产生磁场的电流之间的关系，是计算具有一定对称性磁场的重要工具，体现了磁场的基本性质。
- 磁通量定义（一般情况）：$\Phi_{m}=\int_{S}B\cdot dS$
- 物理量含义：$\Phi_{m}$是磁通量；$B$是磁感应强度矢量；$dS$是曲面$S$上的面积元矢量，其大小为面积元的面积，方向为该面元的法线方向。
- 物理意义：穿过曲面$S$的磁通量等于磁感应强度在该曲面上的通量，用于描述磁场与曲面的关系，类似于电通量，可形象地理解为穿过某一面积的磁感线的条数，是研究磁场性质和电磁感应现象的重要物理量。
- 磁通量定义（闭合曲面）：$\Phi_{m}=\oint_{S}B\cdot dS = 0$
- 物理量含义：$\oint_{S}$表示对闭合曲面$S$进行积分。
- 物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量恒为零，这是磁场高斯定理的积分形式，表明磁场是无源场，磁感线是闭合曲线，从一个侧面反映了磁场的性质，与静电场的高斯定理有所不同，体现了磁场与电场在性质上的差异。
- 磁矩定义（与闭合回路相关）：$p_{m}=NISe_{n}$
- 物理量含义：$p_{m}$是磁矩；$N$是线圈匝数；$I$是线圈中的电流强度；$S$是线圈所围面积；$e_{n}$是与线圈平面垂直的单位矢量，其方向与电流的环绕方向满足右手螺旋定则。
- 物理意义：描述载流线圈在磁场中所具有的磁性质，磁矩的大小与线圈匝数、电流强度以及面积有关，方向垂直于线圈平面，反映了载流线圈产生磁场或在磁场中受力和力矩的特性，在研究磁场对载流线圈的作用等问题中具有重要意义。
- 安培力公式（电流元）：$dF = Idl\times B$
- 物理量含义：$dF$是电流元$Idl$在磁场$B$中受到的安培力；$Idl$是电流元，$I$是电流强度，$dl$是电流元的长度矢量，方向为电流的方向；$B$是磁感应强度矢量。
- 物理意义：表示电流元在磁场中受到的力，安培力的大小与电流元的电流强度、长度、磁感应强度以及它们之间的夹角有关，方向垂直于$Idl$与$B$组成的平面，遵循右手螺旋定则，是计算载流导线在磁场中受力的基本公式。
- 安培力公式（一段导线）：$F=\int_{L}Idl\times B$
- 物理量含义：积分区域$L$是导线的长度范围。
- 物理意义：计算一段载流导线在磁场中受到的安培力，通过对导线各个电流元所受安培力进行积分求和得到，适用于任意形状的载流导线在磁场中的受力计算，体现了安培力的矢量叠加性。
- 均匀磁场中载流平面线圈受到的磁力矩公式：$M = p_{m}\times B$
- 物理量含义：$M$是磁力矩；$p_{m}$是载流平面线圈的磁矩；$B$是磁感应强度矢量。
- 物理意义：描述了均匀磁场中载流平面线圈所受到的力矩，磁力矩的大小与磁矩、磁感应强度以及它们之间的夹角有关，方向垂直于磁矩和磁感应强度组成的平面，遵循右手螺旋定则，决定了载流线圈在磁场中的转动趋势，在电机、电表等电磁设备的原理中具有重要应用。
- 磁力做功公式（闭合载流回路）：$dA = Id\Phi$
- 物理量含义：$dA$是磁力或磁力矩做的功；$I$是闭合载流回路中的电流强度；$d\Phi$是回路磁通量的变化量。
- 物理意义：表示一个任意的闭合载流回路在磁场中改变位置或形状时，磁力或磁力矩所做的功等于电流强度与磁通量变化量的乘积，反映了磁场与电流之间能量转换的关系，在电磁感应现象中，磁力做功与感应电动势产生的电能密切相关。
电磁感应相关公式
- 法拉第电磁感应定律：$\varepsilon_{i}=-\frac{d\Phi}{dt}$
- 物理量含义：$\varepsilon_{i}$是感应电动势；$\Phi$是通过回路所包围面积的磁通量；$t$是时间。
- 物理意义：当回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，其大小等于磁通量对时间变化率的负值，负号反映了感应电动势的方向总是阻碍磁通量的变化，这是电磁感应现象的基本定律，揭示了磁通量变化与感应电动势产生之间的定量关系。
- 动生电动势公式（线元）：$d\varepsilon_{i}=(v\times B)\cdot dl$
- 物理量含义：$v$是导体线元$dl$的运动速度矢量；$B$是磁感应强度矢量；$dl$是导体线元，其方向为电流元的方向。
- 物理意义：计算导体或回路在磁场中运动时，导体线元上产生的动生电动势，动生电动势的大小与导体运动速度、磁感应强度、线元长度以及它们之间的夹角有关，方向由$(v\times B)$与$dl$的点积确定，体现了磁场对运动电荷的洛伦兹力在导体中产生电动势的原理。
- 感生电动势公式（涡旋电场）：$\varepsilon_{i}=\oint_{L}E_{i}\cdot dl$（其中$\oint_{L}E_{i}\cdot dl = -\int_{S}\frac{\partial B}{\partial t}\cdot dS$，涡旋电场线与$\frac{\partial B}{\partial t}$呈左螺旋关系）
- 物理量含义：$E_{i}$是感生电场（涡旋电场）强度矢量；$L$是闭合回路；$S$是以$L$为边界的曲面；$\frac{\partial B}{\partial t}$是磁感应强度对时间的变化率。
- 物理意义：感生电动势等于单位正电荷绕闭合回路一周涡旋电场力所做的功，反映了变化的磁场在其周围空间激发涡旋电场，从而在导体回路中产生电动势的现象，揭示了感生电动势与变化磁场之间的内在联系，是计算感生电动势的重要公式，适用于磁场变化产生感生电动势的情况。
- 自感系数定义：$\Psi = LI$
- 物理量含义：$\Psi$是通过回路的全磁通；$L$是自感系数；$I$是回路中的电流强度。
- 物理意义：表示通过回路的全磁通与回路中电流强度成正比，比例系数$L$称为自感系数，自感系数反映了回路自身的电磁特性，其大小取决于回路的形状、尺寸、匝数以及周围介质的磁导率等因素，用于描述回路自身电流变化时产生自感电动势的能力。
- 自感电动势公式：$\varepsilon_{i}=-L\frac{di}{dt}$
- 物理量含义：$i$是随时间变化的电流。
- 物理意义：当回路中的电流随时间变化时，回路中会产生自感电动势，其大小与自感系数和电流变化率成正比，负号表示自感电动势的方向总是阻碍回路中电流的变化，体现了自感现象中电磁感应的规律，在电路中自感电动势会对电流的变化产生阻碍作用，如在含有电感的电路中电流的暂态过程等问题中具有重要意义。
- 互感系数定义：$\Psi_{21}=MI_{1}$，$\Psi_{12}=MI_{2}$（且$M_{12}=M_{21}=M$）
- 物理量含义：$\Psi_{21}$是回路$1$中的电流$I_{1}$在回路$2$中产生的全磁通；$\Psi_{12}$是回路$2$中的电流$I_{2}$在回路$1$中产生的全磁通；$M$是互感系数。
- 物理意义：互感系数$M$描述了两个回路之间的电磁耦合程度，即一个回路中的电流变化在另一个回路中产生感应电动势的能力，互感系数与两个回路的形状、尺寸、匝数、相对位置以及周围介质的磁导率等因素有关，在变压器、互感器等电磁设备中，互感现象是其工作原理的基础。
- 互感电动势公式（回路$2$中由回路$1$电流变化产生）：$\varepsilon_{21}=-M\frac{dI_{1}}{dt}$
- 物理量含义：$I_{1}$是回路$1$中的电流强度。
- 物理意义：当回路$1$中的电流$I_{1}$随时间变化时，在回路$2$中会产生互感电动势，其大小与互感系数和回路$1$中电流变化率成正比，负号表示互感电动势的方向总是阻碍回路$1$中电流的变化对回路$2$的影响，体现了两个回路之间通过磁场相互作用产生感应电动势的关系，在电磁感应的互感现象中具有重要应用。
电磁场与电磁波相关公式
- 位移电流密度定义：$j_{d}=\frac{dD}{dt}$
- 物理量含义：$j_{d}$是位移电流密度；$D$是电位移矢量；$t$是时间。
- 物理意义：引入位移电流密度的概念，用于描述电介质中电场变化时产生的等效电流密度，它与电位移矢量对时间的变化率有关，是为了使安培环路定理在非稳恒情况下普遍适用而引入的概念，扩展了电流的范畴，反映了电场变化与磁场之间的联系，在电磁波的传播等过程中具有重要意义。
- 位移电流定义：$I_{d}=\frac{d\Phi_{D}}{dt}$（方向规定为$D$增量的方向）
- 物理量含义：$\Phi_{D}$是电位移通量。
- 物理意义：位移电流等于电位移通量对时间的变化率，其大小和方向与电位移通量的变化有关，与传导电流一起构成了全电流，在麦克斯韦方程组中，位移电流的引入修正了安培环路定理，使其能够适用于时变电磁场的情况，揭示了电场和磁场相互激发、相互依存的关系，是电磁理论发展的重要成果。
- 电磁波的能流密度（坡印亭矢量）：$S = E\times H$
- 物理量含义：$S$是能流密度矢量（坡印亭矢量）；$E$是电场强度矢量；$H$是磁场强度矢量。
- 物理意义：表示电磁波在空间传播过程中单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的能量，其方向与$E$和$H$都垂直，遵循右手螺旋定则，反映了电磁波能量的传播方向和强度，用于描述电磁波能量传输的特性，在研究电磁波的辐射、传播以及与物质的相互作用等方面具有重要作用。
光学
光的干涉相关公式
- 光程公式：$L = nr$
- 物理量含义：$L$表示光程；$n$为介质的折射率；$r$是光在介质中传播的路程。
- 物理意义：用于计算光在不同介质中传播时，由于介质对光传播的影响而等效的路程，在研究光的干涉现象中，光程差是决定干涉结果的关键因素，光程的概念使得在不同介质中传播的光可以统一到相同的计算标准下，便于分析干涉条纹的分布等问题。
- 相位差与光程差的关系公式：$\Delta\varphi = (\varphi_{2}-\varphi_{1})+\frac{2\pi}{\lambda}\delta$
- 物理量含义：$\Delta\varphi$是两束光的相位差；$\varphi_{2}$、$\varphi_{1}$分别是两束光的初相位；$\lambda$是光在真空中的波长；$\delta$是两束光的光程差。
- 物理意义：描述了两束光在相遇点的相位差与它们的初相位差以及光程差之间的关系，是分析光干涉现象中干涉加强或相消条件的基础，表明光程差的变化会导致相位差的改变，进而影响干涉条纹的明暗情况。
- 干涉加强/相消与相位差的关系公式：$\Delta\varphi = \begin{cases}2k\pi, & 加强\\(2k - 1)\pi, & 相消\end{cases}$（$k = 0,1,2,\cdots$）
- 物理量含义：$k$为整数，称为干涉级数。
- 物理意义：当两束光的相位差满足$2k\pi$时，两束光干涉加强，形成明纹；当相位差满足$(2k - 1)\pi$时，两束光干涉相消，形成暗纹，这是判断光干涉结果（明纹或暗纹）的重要依据，通过控制光程差或相位差可以实现对干涉条纹的调控。
- 双缝干涉光程差公式：$\delta = d\frac{x}{D}$（基本条件下）
- 物理量含义：$d$是双缝间距；$x$是所求点至屏幕中心$O$的距离；$D$是双缝至屏幕的距离。
- 物理意义：计算双缝干涉实验中两束相干光到达屏幕上某点的光程差，光程差与双缝间距、屏幕上点的位置以及双缝到屏幕的距离有关，决定了该点的干涉情况，是分析双缝干涉条纹分布的关键公式。
- 双缝干涉明纹/暗纹位置公式：$\delta = \begin{cases}k\lambda, & 明纹\\ (k - \frac{1}{2})\lambda, & 暗纹\end{cases}$（$k = 0,1,2,\cdots$），结合$\delta = d\frac{x}{D}$可得明纹位置$x = \frac{k\lambda D}{d}$，暗纹位置$x = \frac{(k - \frac{1}{2})\lambda D}{d}$
- 物理量含义：$\lambda$是光的波长。
- 物理意义：给出了双缝干涉中明纹和暗纹在屏幕上的位置分布规律，表明明纹和暗纹的位置与光的波长、双缝间距以及双缝到屏幕的距离有关，通过这些公式可以计算出各级明纹和暗纹的具体位置，从而理解双缝干涉条纹的特征。
- 劈尖膜干涉光程差公式：$\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2}$（考虑半波损失）
- 物理量含义：$n$是劈尖膜中间介质的折射率；$e$是该位置薄膜的厚度。
- 物理意义：计算劈尖膜干涉中两束反射光的光程差，考虑了薄膜厚度和介质折射率对光程的影响，以及由于光从光疏介质到光密介质反射时可能产生的半波损失，光程差决定了劈尖膜干涉条纹的明暗情况，可用于分析劈尖膜干涉现象中条纹的分布与薄膜厚度变化的关系。
- 劈尖膜干涉明纹/暗纹条件公式：$\delta = 2ne + \frac{\lambda}{2} = \begin{cases}k\lambda, & 明纹\\ (k - \frac{1}{2})\lambda, & 暗纹\end{cases}$（$k = 0,1,2,\cdots$），由此可得明纹处薄膜厚度$e = \frac{1}{2n}(k - \frac{1}{2})\lambda$，暗纹处薄膜厚度$e = \frac{k\lambda}{2n}$（$k = 0$时对应劈尖膜棱边处暗纹）
- 物理量含义：$\lambda$是光的波长。
- 物理意义：确定了劈尖膜干涉中明纹和暗纹出现的条件与薄膜厚度的关系，通过薄膜厚度可以判断该位置是明纹还是暗纹，反之，根据条纹的级数也可以计算出相应位置的薄膜厚度，常用于测量微小厚度或研究薄膜表面的平整度等。
- 牛顿环光程差公式（空气膜）：$\delta = 2e + \frac{\lambda}{2}$（考虑半波损失），其中$e\approx\frac{r^{2}}{2R}$（$r$是牛顿环半径，$R$是平凸透镜曲率半径）
- 物理量含义：$e$是空气膜厚度；$r$是牛顿环半径；$R$是平凸透镜曲率半径；$\lambda$是光的波长。
- 物理意义：计算牛顿环干涉中两束反射光的光程差，考虑了空气膜厚度（与牛顿环半径和透镜曲率半径有关）以及半波损失，光程差决定了牛顿环干涉条纹的明暗情况，可用于分析牛顿环干涉条纹的半径与透镜曲率半径、光波长之间的关系，在光学元件检测等方面有重要应用。
- 牛顿环明纹/暗纹条件公式（空气膜）：$\delta = 2e + \frac{\lambda}{2} = \begin{cases}k\lambda, & 明纹\\ (k - \frac{1}{2})\lambda, & 暗纹\end{cases}$（$k = 0,1,2,\cdots$），结合$e\approx\frac{r^{2}}{2R}$可得明纹半径$r = \sqrt{\frac{(2k - 1)R\lambda}{2}}$（$k = 1,2,3,\cdots$），暗纹半径$r = \sqrt{kR\lambda}$（$k = 0,1,2,\cdots$）
- 物理量含义：$\lambda$是光的波长。
- 物理意义：给出了牛顿环干涉中明纹和暗纹半径的计算公式，表明明纹和暗纹半径与透镜曲率半径、光波长以及条纹级数有关，通过测量牛顿环的半径可以计算出透镜的曲率半径或光的波长，在光学测量和光学元件质量检测等方面具有重要意义。
光的衍射相关公式
- 单缝衍射暗纹中心公式：$a\sin\theta = \pm k\lambda$（$k = 1,2,3,\cdots$）
- 物理量含义：$a$是单缝宽度；$\theta$是光线相对缝面法线的偏转角；$\lambda$是光的波长；$k$是暗纹级数。
- 物理意义：确定了单缝衍射中暗纹中心的位置与单缝宽度、光波长以及衍射角之间的关系，表明当光线满足该公式时，在相应的衍射角方向上会出现暗纹，是分析单缝衍射条纹分布的重要公式，反映了单缝对光的衍射作用导致光强分布出现明暗相间条纹的规律。
- 单缝衍射明纹中心公式（近似）：$a\sin\theta = \pm (k + \frac{1}{2})\lambda$（$k = 1,2,3,\cdots$）
- 物理量含义：$k$是明纹级数（$k = 1$对应第一级明纹，以此类推）。
- 物理意义：给出了单缝衍射中明纹中心位置的近似计算公式，与暗纹公式一起用于描述单缝衍射条纹的分布情况，表明在这些位置光强相对较强，形成明纹，体现了单缝衍射过程中光强分布的特点，对于理解单缝衍射现象和分析衍射图像具有重要作用。
- 单缝衍射中央明纹宽度公式（近似）：$\Delta x = 2\frac{\lambda f}{a}$（$f$是透镜焦距）
- 物理量含义：$\Delta x$是中央明纹宽度；$\lambda$是光的波长；$f$是透镜焦距；$a$是单缝宽度。
- 物理意义：计算单缝衍射实验中中央明纹的宽度，中央明纹宽度与光波长、透镜焦距成正比，与单缝宽度成反比，反映了单缝衍射中中央明纹的特征，是衡量单缝衍射现象的一个重要参数，对于研究单缝衍射的光强分布和分辨率等方面有重要意义。
- 光栅衍射光栅方程：$d\sin\theta = \pm k\lambda$（$k = 0,1,2,\cdots$）
- 物理量含义：$d = a + b$是光栅常数，$a$是透光缝宽度，$b$是不透光刻痕宽度；$\theta$是衍射角；$\lambda$是光的波长；$k$是主极大级数。
- 物理意义：确定了光栅衍射中主极大明纹的位置与光栅常数、光波长以及衍射角之间的关系，当满足该方程时，在相应的衍射角方向上会出现主极大明纹，是光栅衍射的基本公式，用于分析光栅衍射条纹的分布规律，体现了光栅对光的衍射和干涉共同作用的结果。
- 光栅衍射缺级条件公式：$\begin{cases}a\sin\theta = k_{1}\lambda\\ d\sin\theta = k_{2}\lambda\end{cases}$，可得$k_{2}=\frac{d}{a}k_{1}$（$k_{1},k_{2}$为整数）
- 物理量含义：$k_{1}$是满足单缝衍射暗纹条件的级数；$k_{2}$是满足光栅方程的级数。
- 物理意义：当衍射角$\theta$同时满足光栅方程和单缝衍射暗纹条件时，原定的主极大明纹会消失，即发生缺级现象，该公式用于判断光栅衍射中哪些主极大会缺级，缺级现象与光栅常数和单缝宽度的比值有关，对于理解光栅衍射条纹的分布特点和分析光栅衍射现象具有重要意义。
- 光栅分辨本领公式：$R = \frac{\overline{\lambda}}{\Delta\lambda}=kN$
- 物理量含义：$R$是光栅分辨本领；$\overline{\lambda}$是某级恰好能分辨的两条谱线的平均波长；$\Delta\lambda$是这两条谱线的波长差；$k$是光栅衍射级数；$N$是光栅的总缝数。
- 物理意义：描述了光栅分辨两条靠得很近的谱线的能力，分辨本领与光栅衍射级数和总缝数成正比，反映了光栅在光谱分析等方面的性能，数值越大，表示光栅能够分辨的波长差越小，即分辨能力越强，在光谱学研究和光学仪器设计中具有重要应用。
- 圆孔衍射最小分辨角公式：$\theta_{min}=1.22\frac{\lambda}{D}$
- 物理量含义：$\theta_{min}$是最小分辨角；$\lambda$是光的波长；$D$是圆孔直径。
- 物理意义：表示当两个物点对圆孔的张角小于最小分辨角时，仪器或人眼无法分辨这两个物点，它决定了圆孔衍射系统的分辨极限，对于光学仪器的分辨率分析和设计具有重要指导意义，例如在望远镜、显微镜等光学设备中，最小分辨角是衡量其性能的重要指标之一。
- X射线在晶体上的衍射公式（布拉格方程）：$2d\sin\theta = k\lambda$（$k = 1,2,\cdots$）
- 物理量含义：$d$是相邻晶面间距；$\theta$是入射光与晶面间的掠射角；$\lambda$是X射线波长；$k$是衍射级数。
- 物理意义：确定了X射线在晶体上产生强反射（衍射）的条件，表明当X射线满足该方程时，会在相应的掠射角方向上发生强烈的衍射现象，该公式是研究晶体结构的重要工具，通过测量X射线的衍射角度和波长，可以计算出晶体的晶格常数等结构信息，在材料科学、固体物理等领域有广泛应用。
光的偏振相关公式
- 马吕斯定律（自然光通过偏振片）：$I=\frac{1}{2}I_{0}$
- 物理量含义：$I$是透射光强；$I_{0}$是入射自然光光强。
- 物理意义：描述了自然光通过理想偏振片后光强的变化规律，自然光通过偏振片后光强变为原来的一半，这是因为自然光在各个方向上的振动分量均等，经过偏振片后只有平行于偏振片偏振化方向的振动分量能够通过，垂直分量被吸收，体现了偏振片对自然光的起偏作用。
- 马吕斯定律（线偏振光通过偏振片）：$I = I_{0}\cos^{2}\theta$
- 物理量含义：$I$是透射光强；$I_{0}$是入射线偏振光光强；$\theta$是入射光的偏振方向与偏振片偏振化方向的夹角（$0\leq\theta<90^{\circ}$）。
- 物理意义：给出了线偏振光通过偏振片后光强与入射光偏振方向和偏振片偏振化方向夹角的关系，表明透射光强随夹角的余弦平方变化，当夹角为$0^{\circ}$时，透射光强最大，等于入射光强；当夹角为$90^{\circ}$时，透射光强为零，体现了偏振片对线偏振光的检偏和光强调制作用，在偏振光的应用和研究中具有重要意义。
- 布儒斯特定律：$\tan i_{0}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$，$i_{0}+r = 90^{\circ}$
- 物理量含义：$i_{0}$是入射角（又称布儒斯特角）；$n_{1}$、$n_{2}$分别是两种介质的折射率；$r$是折射角。
- 物理意义：当光以布儒斯特角入射到两种介质界面时，反射光成为振动方向垂直于入射面的线偏振光，折射光成为最大偏振化程度的部分偏振光，同时入射角与折射角之和为$90^{\circ}$，该定律揭示了光在反射和折射过程中的偏振特性，在偏振光的产生和光学器件的设计中具有重要应用，例如可以利用布儒斯特角来获得线偏振光。
- 波片相位差公式：$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}|n_{o}-n_{e}|d$
- 物理量含义：$\Delta\varphi$是两束光（$o$光和$e$光）的相位差；$\lambda$是光的波长；$n_{o}$、$n_{e}$分别是晶体中$o$光和$e$光的折射率；$d$是波片厚度。
- 物理意义：计算线偏振光垂直入射波片后，由于$o$光和$e$光在晶体中传播速度不同（折射率不同）而产生的相位差，相位差与波片厚度、晶体的折射率以及光波长有关，通过选择合适的波片厚度可以获得特定的相位差，从而实现对偏振光的相位调制，在光学调制和偏振光的应用中具有重要作用。
薄透镜成像相关公式
- 薄透镜成像公式（高斯公式）：$\frac{1}{s}+\frac{1}{s’}=\frac{1}{f}$
- 物理量含义：$s$是物距，与人射光线位于透镜同侧时为正，反之为负；$s’$是像距，与出射光线位于透镜同侧时为正，反之为负；$f$是透镜焦距，会聚透镜（如双凸薄透镜）焦距$f$为正，发散透镜（如双凹薄透镜）焦距$f$为负。
- 物理意义：描述了薄透镜成像时物距、像距和焦距之间的关系，是薄透镜成像的基本公式，通过已知的物距和透镜焦距，可以计算出像距，从而确定像的位置，反之亦然，在光学成像系统的分析和设计中具有重要应用，如相机镜头、显微镜物镜等光学元件的设计都基于此公式。
- 薄透镜横向放大率公式：$m = \frac{y’}{y}=-\frac{s’}{s}$
- 物理量含义：$m$是横向放大率；$y$是物高，位于主光轴之上时为正，反之为负；$y’$是像高，位于主光轴之上时为正，反之为负；$s$是物距；$s’$是像距。
- 物理意义：表示像的横向尺寸与物的横向尺寸之比，反映了薄透镜成像时像的放大或缩小情况，横向放大率的正负还表示像的正倒，当$m>0$时，像是正立的；当$m<0$时，像是倒立的，通过横向放大率可以了解成像后的像的大小和方向特征，对于分析光学成像系统的成像效果具有重要意义。
- 薄透镜焦距公式（透镜制造者公式，以平凸透镜为例）：$\frac{1}{f}=(n - 1)(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}})$（选平面一侧为入射侧，$R_{1}\to\infty$，$R_{2}$为球面曲率半径且球面朝该侧凹时$R_{2}<0$）
- 物理量含义：$f$是透镜焦距；$n$是透镜介质折射率；$R_{1}$、$R_{2}$是透镜球面的曲率半径，任意选择一侧作为入射光侧，更靠近该侧的球面为$R_{1}$，更远的球面为$R_{2}$，若球面向这一侧凸，则$R$取正值；若球面向这一侧凹，则$R$取负值。
- 物理意义：用于计算薄透镜的焦距，表明透镜焦距与透镜介质折射率、两个球面的曲率半径有关，不同的透镜参数会导致不同的焦距，该公式在透镜设计和制造中起着关键作用，通过选择合适的材料（折射率）和透镜曲率半径，可以得到所需焦距的透镜，以满足不同的光学成像需求。
原子物理
黑体辐射相关公式
- 单色辐出度定义公式：$M_{\lambda}(T)=\frac{dM_{\lambda}}{d\lambda}$
- 物理量含义：$M_{\lambda}(T)$是单色辐出度，表示单位时间、单位表面积上发射的波长在$\lambda$到$\lambda + d\lambda$范围内的辐射能随波长的变化率；$dM_{\lambda}$是波长在$\lambda$到$\lambda + d\lambda$范围内的辐射能；$d\lambda$是波长的微小增量；$T$是黑体的热力学温度。
- 物理意义：用于描述黑体在不同温度下，单位时间、单位表面积发射的特定波长范围内辐射能的分布情况，反映了黑体辐射能量随波长的分布规律，是研究黑体辐射特性的重要物理量，通过对单色辐出度的研究可以了解黑体辐射能量在不同波长上的分配情况。
- 辐射出射度公式：$M(T)=\int_{0}^{\infty}M_{\lambda}(T)d\lambda$
- 物理量含义：$M(T)$是辐射出射度，表示单位时间、单位表面积上发射全波长范围内的辐射能；$M_{\lambda}(T)$是单色辐出度；积分区间$[0, \infty)$表示对所有可能的波长进行积分。
- 物理意义：计算黑体在特定温度下单位时间、单位表面积向整个空间发射的总辐射能量，它综合了黑体在各个波长上的辐射能力，是衡量黑体辐射总能量的物理量，体现了黑体在给定温度下向外辐射能量的总体水平。
- 基尔霍夫定律公式（定性表述）：$\frac{M_{\lambda}(T)}{\alpha(\lambda, T)} = M_{B\lambda}(T)$
- 物理量含义：$M_{\lambda}(T)$是物体的单色辐出度；$\alpha(\lambda, T)$是物体的单色吸收系数，表示物体对特定波长、温度下的辐射能的吸收能力；$M_{B\lambda}(T)$是绝对黑体的单色辐出度。
- 物理意义：表明任何物体的单色辐出度与单色吸收系数的比值都等于绝对黑体在相同温度和波长下的单色辐出度，即好的吸收体也是好的辐射体，该定律揭示了物体辐射能力与吸收能力之间的内在联系，是理解和研究热辐射现象的重要基础。
- 斯特藩 - 玻尔兹曼定律公式：$M_{B}(T)=\int_{0}^{\infty}M_{B\lambda}(T)d\lambda = \sigma T^{4}$
- 物理量含义：$M_{B}(T)$是绝对黑体的总辐射出射度；$\sigma$是斯特藩 - 玻尔兹曼常数，$\sigma = 5.67×10^{-8}W/(m^{2}·K^{4})$；$T$是绝对黑体的热力学温度。
- 物理意义：给出了绝对黑体在整个波长范围内的总辐射能量与温度的四次方成正比的关系，表明黑体的总辐射出射度随温度升高而迅速增加，该定律定量地描述了黑体辐射能量与温度之间的关系，在热辐射的研究和实际应用中（如高温测量、辐射换热等）具有重要意义。
- 维恩位移定律公式：$T\lambda_{m}=b$
- 物理量含义：$\lambda_{m}$是黑体辐射光谱中辐射出射度最大的波长，即峰值波长；$b$是维恩位移常数，$b = 2.898×10^{-3}m·K$；$T$是黑体的热力学温度。
- 物理意义：表明黑体辐射的峰值波长与温度成反比，随着温度升高，峰值波长向短波方向移动，该定律反映了黑体辐射能量在不同温度下波长分布的变化规律，可通过测量黑体辐射的峰值波长来确定黑体的温度，在天文学（如恒星温度测量）等领域有广泛应用。
光电效应相关公式
- 光子能量公式：$E = h\nu$
- 物理量含义：$E$是光子的能量；$h$是普朗克常量，$h = 6.626×10^{-34}J·s$；$\nu$是光的频率。
- 物理意义：揭示了光子能量与光频率之间的定量关系，表明光子能量与光频率成正比，频率越高，光子能量越大，该公式是量子物理学的基础公式之一，它体现了光的粒子性，解释了光电效应等现象中光与物质相互作用时能量的传递方式。
- 光子动量公式：$p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$
- 物理量含义：$p$是光子的动量；$c$是真空中的光速，$c = 3×10^{8}m/s$；$\lambda$是光的波长。
- 物理意义：建立了光子动量与光频率、波长之间的关系，表明光子具有动量，其大小与光频率成正比，与波长成反比，这一公式进一步体现了光的粒子性，在光与物质相互作用过程（如康普顿效应）中，光子动量的变化遵循动量守恒定律，对理解这些现象具有重要意义。
- 光电效应方程：$h\nu = E_{km} + A$
- 物理量含义：$h\nu$是入射光子的能量；$E_{km}$是光电子的最大初动能；$A$是金属的逸出功，表示电子从金属表面逸出所需的最小能量。
- 物理意义：描述了光电效应中光子能量与光电子能量之间的关系，即入射光子的能量一部分用于克服金属表面的逸出功，剩余部分转化为光电子的最大初动能，该方程成功解释了光电效应的实验规律，如存在截止频率（当$h\nu = A$时，$\nu = \nu_{0}$，此时光电子刚好能逸出，$\nu_{0}$为截止频率）等现象，是理解光电效应本质的关键公式。
- 遏止电压与最大初动能的关系公式：$E_{km} = e|U_{a}|$
- 物理量含义：$e$是电子的电荷量，$e = 1.6×10^{-19}C$；$U_{a}$是遏止电压，即当光电流为零时在光电管两端施加的反向电压。
- 物理意义：表明光电子的最大初动能与遏止电压成正比，通过测量遏止电压可以计算出光电子的最大初动能，从而进一步了解光电效应中光电子的能量特性，在光电效应的实验研究和应用（如光电探测器等）中具有重要作用。
康普顿效应相关公式
- 康普顿散射波长改变量公式：$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_{0} = \frac{h}{m_{e}c}(1 - \cos\varphi)$
- 物理量含义：$\Delta\lambda$是散射光波长的改变量；$\lambda$是散射光的波长；$\lambda_{0}$是入射光的波长；$h$是普朗克常量；$m_{e}$是电子的静止质量；$c$是真空中的光速；$\varphi$是散射角，即入射光子与散射光子方向之间的夹角。
- 物理意义：给出了康普顿散射中散射光波长改变量与散射角之间的定量关系，表明散射光波长的改变量随散射角增大而增大，且与入射光波长及物质无关（仅与电子的康普顿波长$\frac{h}{m_{e}c}$有关，$\frac{h}{m_{e}c}=0.0024nm$称为电子的康普顿波长），该公式成功解释了康普顿效应中散射光波长变化的实验现象，证实了光子与电子碰撞过程中能量和动量守恒，进一步证明了光的粒子性。
- 电子获得动能公式：$E_{k} = h\nu_{0} - h\nu$
- 物理量含义：$E_{k}$是电子获得的动能；$h\nu_{0}$是入射光子的能量；$h\nu$是散射光子的能量。
- 物理意义：计算在康普顿效应中电子通过与光子碰撞获得的动能，其值等于入射光子能量与散射光子能量之差，体现了光子与电子碰撞过程中的能量守恒，通过该公式可以研究康普顿效应中能量的转移情况，进一步理解光子与物质相互作用的微观过程。
德布罗意波相关公式
- 德布罗意波长公式：$\lambda = \frac{h}{p}$
- 物理量含义：$\lambda$是实物粒子的德布罗意波长；$h$是普朗克常量；$p$是实物粒子的动量。
- 物理意义：表明实物粒子具有波动性，其波长与粒子的动量成反比，揭示了实物粒子的波粒二象性，将粒子的动量与波长联系起来，是量子力学中描述实物粒子波动性的基本公式，对理解微观粒子的行为和量子现象具有重要意义，例如在电子显微镜等领域，利用电子的波动性（德布罗意波）来提高分辨率。
不确定性理论相关公式
- 动量与位置的不确定关系公式：$\Delta x\Delta p_{x} \geq \frac{h}{4\pi}$
- 物理量含义：$\Delta x$是粒子在$x$方向上位置的不确定量；$\Delta p_{x}$是粒子在$x$方向上动量的不确定量；$h$是普朗克常量。
- 物理意义：表明微观粒子的位置和动量不能同时被精确确定，它们的不确定量之积存在一个下限，体现了微观世界的不确定性原理，这是量子力学的基本原理之一，与经典物理学中粒子的确定性运动规律有本质区别，该公式限制了我们对微观粒子状态的精确描述，对理解微观粒子的行为和量子现象具有重要意义。
- 能量和时间的不确定关系公式：$\Delta E\Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$
- 物理量含义：$\Delta E$是粒子能量的不确定量；$\Delta t$是粒子处于某一状态的时间不确定量；$h$是普朗克常量。
- 物理意义：表示微观粒子处于某个状态的时间与能量也不能同时准确测定，它们的不确定量之积存在一个下限，该公式反映了能量和时间在微观世界中的不确定性关系，在量子力学的许多现象和应用中（如能级寿命、量子跃迁等）都有体现，进一步体现了量子力学与经典力学在物理观念上的差异。
波函数相关公式
- 概率密度公式（与波函数的关系）：$|\Psi(x, y, z, t)|^{2}=\Psi^{*}(x, y, z, t)\Psi(x, y, z, t)$
- 物理量含义：$\Psi(x, y, z, t)$是波函数，它是空间和时间的函数，描述微观粒子的运动状态；$\Psi^{*}(x, y, z, t)$是波函数$\Psi(x, y, z, t)$的共轭复数。
- 物理意义：表示粒子在空间某点$(x, y, z)$和时刻$t$出现的概率密度，即粒子出现在该点附近单位体积内的概率，它反映了微观粒子在空间分布的概率特性，是量子力学中描述微观粒子状态的重要概念，通过概率密度可以计算粒子在某一区域内出现的概率等物理量。
- 归一化条件公式：$\iiint_{V}\Psi^{*}(x, y, z, t)\Psi(x, y, z, t)dV = 1$
- 物理量含义：积分区域$V$是整个空间；$dV$是体积元。
- 物理意义：要求波函数在全空间内找到粒子的概率总和为$1$，这是波函数的一个基本要求，保证了概率的归一性，使得波函数能够正确地描述微观粒子在空间中的概率分布，在量子力学的理论和计算中具有重要意义，通过归一化可以确定波函数中的归一化常数等参数。
氢原子及氢原子结构初步相关公式
- 玻尔氢原子理论中电子轨道角动量量子化公式：$L = mvr = n\hbar$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）
- 物理量含义：$L$是电子绕核运动的角动量；$m$是电子质量；$v$是电子的线速度；$r$是电子轨道半径；$\hbar = \frac{h}{2\pi}$，$h$是普朗克常量；$n$是主量子数，它是表征氢原子状态的一个整数。
- 物理意义：表明氢原子中电子的轨道角动量是量子化的，只能取$\hbar$的整数倍，这是玻尔氢原子理论的一个基本假设，成功解释了氢原子光谱的线状结构等现象，引入了量子化的概念，是量子力学发展的重要基础，与经典物理学中电子轨道连续变化的观念不同，体现了微观世界的量子特性。
- 玻尔氢原子理论中氢原子轨道半径公式：$r_{n}=n^{2}\frac{\varepsilon_{0}h^{2}}{\pi me^{2}}$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）
- 物理量含义：$r_{n}$是氢原子中电子处于第$n$个定态时的轨道半径；$\varepsilon_{0}$是真空中的介电常数；$h$是普朗克常量；$m$是电子质量；$e$是电子电荷量；$n$是主量子数。
- 物理意义：给出了氢原子轨道半径的量子化取值，表明氢原子的轨道半径只能取一系列离散的值，且与主量子数的平方成正比，反映了氢原子结构的量子化特征，该公式定量地描述了氢原子中电子轨道的大小与量子数的关系，对理解氢原子的能级结构和光谱等性质具有重要意义。
- 玻尔氢原子理论中氢原子能量公式：$E_{n}=-\frac{1}{n^{2}}(\frac{me^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}})$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）
- 物理量含义：$E_{n}$是氢原子处于第$n$个定态时的能量；$m$是电子质量；$e$是电子电荷量；$\varepsilon_{0}$是真空中的介电常数；$h$是普朗克常量；$n$是主量子数。
- 物理意义：表明氢原子的能量是量子化的，只能取一系列离散的值，且与主量子数的平方成反比，能量为负值表示电子处于束缚态，该公式成功解释了氢原子光谱的不连续性，是玻尔氢原子理论的重要组成部分，对研究原子结构和原子光谱等方面具有重要意义。
- 氢原子光谱公式（玻尔理论）：$\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}})$
- 物理量含义：$\lambda$是氢原子光谱中谱线的波长；$R$是里德伯常数（考试会给定具体数值）；$n_{f}$是跃迁后的低能级量子数；$n_{i}$是跃迁前的高能级量子数，且$n_{i}>n_{f}$。
- 物理意义：描述了氢原子从高能级$n_{i}$跃迁到低能级$n_{f}$时发射光子的波长与能级量子数之间的关系，解释了氢原子光谱的规律性，即氢原子光谱是由一系列不连续的谱线组成，每条谱线对应于电子在不同能级之间的跃迁，该公式是研究氢原子光谱和原子结构的重要工具，通过测量氢原子光谱的波长可以确定原子内部的能级结构。
半导体物理相关公式
- 施主能级相关概念（文字表述公式化）：在$n$型半导体中，杂质原子（如五价元素$P$掺入四价元素半导体）形成的施主能级$E_{D}$靠近导带底部，其与导带底的能量差$\Delta E_{D}=E_{C}-E_{D}$较小（这里$E_{C}$表示导带底能量），电子容易从施主能级跃迁到导带，从而使半导体中的电子浓度增加，参与导电。该能级中的电子在一定条件下（如热激发等）的行为可以用类似能级跃迁的方式来理解，虽然没有一个特定的计算跃迁概率或浓度变化的通用公式，但这种能级结构决定了$n$型半导体的导电特性，即电子为多数载流子。
- 受主能级相关概念（文字表述公式化）：对于$p$型半导体，掺入的三价元素（如$B$）形成受主能级$E_{A}$靠近满带顶部，其与满带顶的能量差$\Delta E_{A}=E_{A}-E_{V}$较小（$E_{V}$表示满带顶能量）。满带中的电子容易跃迁到受主能级，在满带中产生空穴，使得空穴浓度增加，空穴成为多数载流子。同样，这里虽然没有像前面一些公式那样精确的计算式，但这种能级结构决定了$p$型半导体的导电特性主要由空穴贡献。
- 禁带宽度与吸收波长关系公式（在太阳能电池等应用中的体现）：对于本征半导体（如锗$Ge$），禁带宽度$E_{g}$与能吸收的最大波长$\lambda$满足$E_{g}=\frac{hc}{\lambda}$（其中$h$是普朗克常量，$c$是真空中光速）。在太阳能电池应用中，当辐射光的能量$h\nu\geq E_{g}$（$\nu$是光频率）时，电子才能从价带跃迁到导带，产生电子 - 空穴对，从而实现光电转换。例如，已知锗的禁带宽度$E_{g}=0.67eV$，根据公式可计算出它能吸收的最大波长$\lambda=\frac{hc}{E_{g}}=\frac{6.626×10^{-34}×3×10^{8}}{0.67×1.6×10^{-19}}m\approx1855.4nm$，这意味着波长小于等于$1855.4nm$的光有可能被锗吸收并产生光电效应，该公式在研究半导体材料对光的吸收特性以及太阳能电池等光电器件的工作原理和材料选择方面具有重要意义。